A propos de la suite de Fibonacci.

Bonjour,

Rappel :

La suite F de Fibonacci est telle que chacun de ses termes est la somme de ses deux termes précédents avec 0 et 1 au début, ce qui donne :

F = 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 etc.

Soient F_n+1 et F_n deux termes consécutifs de la suite. On démontre que le rapport d'un terme au précédent F_n+1/F_n tend vers l'inverse du nombre d'or quand n tend vers l'infini.

Il existe de nombreuses démonstrations.

J'en ai trouvé une qui ne figure nulle part apparemment : Ni dans mes bouquins de math, ni en faisant appel à Google !

Pourtant, je suis absolument certain que ma démonstration n'est pas originale et que quelqu'un d'autre l'a trouvée avant moi !!!!

Voici cette démonstration :

(Attention : Ma démonstration ne porte que sur la représentation en fraction continue du rapport d'un terme au précédent et non sur la valeur de cette fraction continue connue depuis belle lurette !)

Erratum:

Je viens de m'apercevoir d'une erreur dans ma présentation.

Bref, je me suis mélangé les pieds !

En fait le rapport F_n+1/F_n tend vers le nombre d'or et non vers son inverse comme je l'ai écrit bêtement !!

J'ai oublié au départ d'écrire : F_n+1/_Fn = (F_n+F_n-1)/F_n d'où = 1+F_n-1/F_n !

Et on développe en fraction continue comme je l'ai fait et on trouve bien le nombre d'or.

Mille excuses !

Oui, il y a des applications inattendues au fameux nombre d'or, par exemple en finance spéculative.

Fibonnacci pour les nuls

Cette semaine, nous allons évoquer un célèbre mathématicien.

Fibonnacci est connu pour avoir posé et résolu nombre d'énigmes mathématiques.

Un truc à la mode est apparu en XIXième siècle, relevant plus d'un certain engouement esthétique que de science. L'expression nombre d'or traitait de formes, de régularités, d'architecture. La science avançait à grand pas et au delà du travail des scientifiques, toutes sorte de charlatans ont fleuri avec pour motivation essentielle la mise en place d'attrape gogos. Ce siècle a vu fleurir la communication avec les morts, les remèdes miracles à base de poudre de perlinpinpin et toutes cette sorte de choses. La forme miraculeuse du nombre d'or est bidon, il n'a rien de magique. Ce n'est que la solution de l'équation X2+X-1=0.

...

Son usage dans ce secteur est en effet une niaiserie. D'ailleurs le domaine de la spéculation financière est tellement complexe qu'il est sérieusement doté de mythes et croyances, tant dans les milieux amateurs que professionnels.

Oui, il y a des applications inattendues au fameux nombre d'or, par exemple en finance spéculative.

Fibonnacci pour les nuls

Son usage dans ce secteur est en effet une niaiserie. D'ailleurs le domaine de la spéculation financière est tellement complexe qu'il est sérieusement doté de mythes et croyances, tant dans les milieux amateurs que professionnels.

Bonjour,

Tout d'abord, je n'ai évoqué en rien les applications du nombre d'or. Votre intervention est donc hors sujet.

D'autre part je lis dans votre citation :

"Ce n'est que la solution de l'équation X2+X-1=0".

Ce qui est tout simplement faux :

Le nombre d'or est solution de l'équation x²-x-1 = 0 , équation que l'on tire directement de la définition géométrique du nombre d'or.

Il n'y a rien de magique dans ce nombre, sinon qu'il apparaît dans de nombreux cas où on ne l'attendait pas et constitue de ce fait une véritable curiosité mathématique. Certes, ces curiosités sont peut-être moins célèbres qu'un joueur de foot mais ne déshonorent pas ceux qui s'y intéressent.

Bien à vous.

Dans la nature, la répartition des graines dans la fleur de tournesol ou bien la répartition spatiale des graines dans la pomme de pin vérifient la suite de Fibonacci.....

C'est vrai, mais mon propos n'est pas là !

J'ai donné une démonstration que je crois de mon cru montrant que le rapport d'un terme au précédent de la suite de Fibonacci tend vers l'inverse du nombre d'or. Il existe d'autres démonstrations mais je n'ai pas trouvé celle que j'ai établie bien que je doute fort d'en être le seul auteur !!!

C'était ça mon texte, et non les propriétés du nombre d'or que l'on trouve à foison sur Google!

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Avant d'évoquer les suites de Fibonacci dans la nature j'ai oublié de te féliciter pour ta démonstration. pardon ! :p

Merci, mais je répète que je ne suis pas du tout certain qu'un gus ne l'aura pas trouvée avant moi !!!

Pourquoi est-ce que tu écris F_n / (F_n-1+F_n) = 1+ ( F_n/F_n-1 ) ?

Car si (F_n-1+F_n) / F_n = 1+ ( F_n-1/F_n ) en quoi est-ce que l'inverse de 1+ (F_n-1/F_n) serait 1+ (F_n/F_n-1) ?

Bonjour,

Voici la correction de l'erreur de présentation ci-dessus.

La transformation du type a/b = 1/b/a est utilisée pour le développement en fraction continue.

Bien à vous.

Bien sûr, j'ai donné pour le nombre d'or la valeur 1,608... alors que c'est 1,618...

Je suis un incorrigible distrait et ça ne s'arrange pas avec l'âge !

Je me souviens que lors d'une conférence, je m'étais planté dans les parenthèses d'une expression mathématique assez tordue.

Un participant me l'ayant fait remarquer, je lui répondis avec cette réplique empreinte de la plus totale mauvaise foi : "Je sais. C'était pour voir si vous suiviez !" réplique accueillie par un bel éclat de rire dans l'amphi !

Pourquoi est-ce que tu écris F_n / (F_n-1+F_n) = 1+ ( F_n/F_n-1 ) ?

Car si (F_n-1+F_n) / F_n = 1+ ( F_n-1/F_n ) en quoi est-ce que l'inverse de 1+ (F_n-1/F_n) serait 1+ (F_n/F_n-1) ?

A propos de : F_n / (F_n-1+F_n) = 1+ ( F_n/F_n-1 )

Mais tout simplement parce que (a+b)/a = a/b + a/a et comme a/a = 1, il reste 1 + a/b. (programme de 4ème des lycées et peut-être même de 5ème)

Un simple oubli de votre part. Pas grave du tout.

a = F_n

b = F_n-1

Mais tout simplement parce que (a+b)/a = a/b + a/a et comme a/a = 1, il reste 1 + a/b.

Vous voulez dire (a+b)/a = b/a + a/a ? Il reste 1 + b/a.

Il est évident que (a+b)/a = b/a + a/a mais vous écriviez dans la première présentation a/(a+b) = a/b + a/a et donc en d'autres termes que 1/ (1 + a/b) = 1 + b/a, ce qui est faux. C'était à cela que je me référais.

Mais ce n'est pas grave, la version corrigée n'a plus ce problème.

a = F_n

b = F_n-1

Vous voulez dire (a+b)/a = b/a + a/a ? Il reste 1 + b/a.

Il est évident que (a+b)/a = b/a + a/a mais vous écriviez dans la première présentation a/(a+b) = a/b + a/a et donc en d'autres termes que 1/ (1 + a/b) = 1 + b/a, ce qui est faux. C'était à cela que je me référais.

Mais ce n'est pas grave, la version corrigée n'a plus ce problème.

Eh bien voilà ! Nous d'accord !

De plus, merci de vous être intéressé à tout ceci malgré ma distraction.

Cordialement.

J'en ai trouvé une qui ne figure nulle part apparemment : Ni dans mes bouquins de math, ni en faisant appel à Google !

Pourtant, je suis absolument certain que ma démonstration n'est pas originale et que quelqu'un d'autre l'a trouvée avant moi !!!!

Il me semble que Kepler et / ou Lagrange l'on démontré ( cf équation caractéristique de la récurrence linéaire)(avec deux racines distinctes) ?

On trouve le résultat :

Fn= (nombre d'or (désolé j'ai pas pu l'intégrer) exposant n+1 + (-nombre d'or)-(exposant (n+1))/racine carré de 5 .

Désolé, je viens de la préhistoire !!! putain de matos ..

... en fait l'intégration ne sait pas effectué convenablement, j'ai du l’argumenter comme je le pouvais

Pour dire que ça a été démontré par Kepler et ou Lagrange ...