Deux droites parallèles se rejoignent à l'infini

Il faut éviter de tout mélanger ...

il y a une heure, Promethee_Hades a dit :

Enfin tu as été à l'école, tu connais les tropiques ( cancer, capricorne ), ils sont parallèle il sont sur une sphère, et en plus sont parallèle à l'équateur.

L'équateur et tout méridien sont des géodésiques de la sphère, et jouent un rôle analogue à celui des droites dans le plan; les cercles parallèles à l'équateur et distincts de celui-ci n'en sont pas, parce que leur rayon est inférieur à celui de la sphère - ils peuvent d'ailleurs se réduire à un point au niveau des pôles; ils ne sauraient représenter le plus court chemin d'un point à un autre.

il y a une heure, Promethee_Hades a dit :

Mais ce qui est valable en géométrie euclidienne c'est à dire dans un monde ou univers bidimensionnel ne sont plus valable dans des univers tridimensionnel, et plus.

C'est confondre la courbure d'un espace avec sa dimension, c'est à dire le nombre de coordonnées indépendantes  définissant sa position.

La sphère d'équation x² + y² + z² = 1 ,

l'hyperboloïde d'équation z² = y² - x² constituent des espaces courbes, non-euclidiens, de dimension égale à 2.

L'espace ponctuel associé à R^4, orienté par le repère orthonormé (Owxyz), et muni du produit scalaire  (dont je vous épargne la définition) constitue un espace quadridimensionnel euclidien.

A l'intérieur de celui-ci, l'hypersphère d'équation w² + x² + y² + z² = 1 correspond à un espace courbe de dimension 3, non euclidien.

il y a 17 minutes, Groenland a dit :

Merci.

Je me rends compte qu'en fait je ne sais rien de rien ! Et qu'il ne faut pas jouer au plus malin en science...  

Mais c'était qui déjà qui a dit "je sais que je ne sais rien" et que c'est justement là le début de la sagesse ?! 

Oui dommage qu'on ne peut pas facilement "dessiner" des messages sur le forum... 

Socrate.

Il y a 4 heures, Groenland a dit :

Intéressant. Mais est-ce qu'on peut vraiment tracer deux droites parallèles sur une sphère....?

Autrement ma question concerne les mathématiques en premier lieu, et je me demande si le fait qu'on affirme que 2 droites parallèles se rejoignent à l'infini a-t-il une utilité en physique par exemple ?

Bof, la connaissance se sert d'approximations. C'est parfois utile. Eratosthène avait remarqué que l'ombre soleil n'avait pas la même longueur dans des puits éloignés. Il fit donc mesurer la longueur des ombres d'un piquet de même dimension et d'un autre situé plus loin, à la même heure. Il fit abstraction de l'angle d'émission des rayons solaires et, par une règle de Troie, non, de trois, détermina la longueur de la circonférence de la Terre. Avant JC.

Il y a 7 heures, Groenland a dit :

Intéressant. Mais est-ce qu'on peut vraiment tracer deux droites parallèles sur une sphère....?

Bien sûr, il suffit pour cela de tracer sur la sphère deux cercles parallèles entre-eux. D'ailleurs il suffit de regarder un globe terrestre et de comparer les méridiens (cercles qui coupent l' équateur perpendiculairement et convergent tous vers les pôles Nord et Sud) et les parallèles qui elles sont toutes parallèles à l' équateur et ne se coupent jamais.

Le fait que deux méridiens tout deux perpendiculaires à une même droite ( l' équateur) se coupent aux pôles indique d'ailleurs qu'un triangle tracé sur une sphère a toujours la somme desses trois angles supérieur à deux droits.

Alors pourquoi dit-on que deux droites parallèles se rejoignent ( peut-être) à l'infini .

C'est très simple, et comme cette affirmation et très inopportune on peut tenter de l' étayer par une image.

Imagine deus droites de longueur infinie situées dans un même plan. L'une est fixe, l'autre peut être inclinée (et donc faire un angle avec la première) si tu oriente la droite mobile par rapport à la fixe, tu vas voir le point d' intersection s' éloigner de toi. Oui, mais voilà, tu n'est pas immense et tôt ou tard ce point d'intersection va devenir invisible pour toi, car trop lointain. Tu sais "d'instinct que à un certain moment les droites vont être vraiment parallèles et que probablement elles ne se couperont jamais. Inutile d'ailleurs de mesurer la distance qui les sépare en différents points car l'infini, c'est loin et il n'existe pas d' appareils de mesure assez précis pour aller vérifier aussi loin. Mais si ton voisin est un chercheur de mouches à deux culs et qu'il t'affirme que pourtant à l'infini, ces droites se coupent. Tu ne pourra jamais le contredire. Même si tu réussi à attraper et à lui montrer une mouche à deux culs. 

il y a une heure, azad2B a dit :

... Imagine deux droites de longueur infinie situées dans un même plan. L'une est fixe, l'autre peut être inclinée (et donc faire un angle avec la première) si tu oriente la droite mobile par rapport à la fixe, tu vas voir le point d' intersection s' éloigner de toi. Oui, mais voilà, tu n'est pas immense et tôt ou tard ce point d'intersection va devenir invisible pour toi, car trop lointain. Tu sais d'instinct que à un certain moment les droites vont être vraiment parallèles et que probablement elles ne se couperont jamais. Inutile d'ailleurs de mesurer la distance qui les sépare en différents points car l'infini, c'est loin et il n'existe pas d' appareils de mesure assez précis pour aller vérifier aussi loin ...

La projection centrale du point à l'infini sur un plan (ici le plan focal image de l'appareil photo) n'en a pas moins une position parfaitement déterminée.

Il y a d'autres belles photos sur le même site.

https://www.naturephotographie.com/tutoriels/lignes-de-fuite/

il y a une heure, azad2B a dit :

Bien sûr, il suffit pour cela de tracer sur la sphère deux cercles parallèles entre-eux. D'ailleurs il suffit de regarder un globe terrestre et de comparer les méridiens (cercles qui coupent l' équateur perpendiculairement et convergent tous vers les pôles Nord et Sud) et les parallèles qui elles sont toutes parallèles à l' équateur et ne se coupent jamais.

Le fait que deux méridiens tout deux perpendiculaires à une même droite ( l' équateur) se coupent aux pôles indique d'ailleurs qu'un triangle tracé sur une sphère a toujours la somme desses trois angles supérieur à deux droits.

Alors pourquoi dit-on que deux droites parallèles se rejoignent ( peut-être) à l'infini .

C'est très simple, et comme cette affirmation et très inopportune on peut tenter de l' étayer par une image.

Imagine deus droites de longueur infinie situées dans un même plan. L'une est fixe, l'autre peut être inclinée (et donc faire un angle avec la première) si tu oriente la droite mobile par rapport à la fixe, tu vas voir le point d' intersection s' éloigner de toi. Oui, mais voilà, tu n'est pas immense et tôt ou tard ce point d'intersection va devenir invisible pour toi, car trop lointain. Tu sais "d'instinct que à un certain moment les droites vont être vraiment parallèles et que probablement elles ne se couperont jamais. Inutile d'ailleurs de mesurer la distance qui les sépare en différents points car l'infini, c'est loin et il n'existe pas d' appareils de mesure assez précis pour aller vérifier aussi loin. Mais si ton voisin est un chercheur de mouches à deux culs et qu'il t'affirme que pourtant à l'infini, ces droites se coupent. Tu ne pourra jamais le contredire. Même si tu réussi à attraper et à lui montrer une mouche à deux culs. 

Bon, ta petite histoire m'a fait vraiment réfléchir ! Et du coup je crois avoir compris qqc... ça doit être une histoire de limite en mathématiques, c'est-à-dire qu'effectivement si l'angle entre deux droites tend vers un nombre positif alors elles ne se coupent jamais (en infini) mais par contre si l'angle tend vers 0 dans quel cas les deux droites tendent à être parallèles alors elles se coupent en infini et cela tout juste avant qu'elles deviennent inclinées, bravo !

Bonsoir @Groenland je te conseille de lire c'est très sérieux, c'est scientifique tout en étant de la vulgarisation à la portée de tout un chacun, mais tu vas certainement mieux comprendre certaine problématique, et en même temps ça va te permettre de vérifié de par toi même. La science c'est très facile ça demande un peu d'attention, de la réflexion et seul les pédants vont te dire que c'est ardu, mais eux n'ont rien compris. 

Voici les liens

http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/Francais/LE GEOMETRICON.pdf

Tu trouvera sur ce site d'autres ouvrage que je peux que te conseiller, à lire y réfléchir , a faire les expériences.

http://www.savoir-sans-frontieres.com/index.html

C'est le libellé exact du cinquième postulat qui conduisit les Grecs et tous les mathématiciens qui suivirent à s’interroger sur ce postulat. J'en donne le texte exact en fichier joint. Ceux qui prendront la peine de lire l’énoncé d' Euclide comprendront que nous puissions nous interroger sur la validité de ce postulat.

Il est bien écrit  : "ces droites prolongées à l'infini se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits".

Cette rédaction a plongé les mathématiciens dans l'interrogation : qu'est-ce que l'infini ?

Nous voyons aussi, comme l'ont fait remarqué des intervenants ici, que la notion d’infini va avec la notion de limite.

La question est : pouvons-nous nous autoriser à "atteindre", en pensée, l'infini ? En principe non, Dieu étant le seul à avoir la faculté d’atteindre l'infini.

C'est pourquoi nous nous autorisons à concevoir l’infini en puissance mais pas en acte.

Dans l'enseignement actuel, en mathématiques, l'infini est noté ∞, il s'agit de l'infini en puissance.

Cantor a été le premier (à ma connaissance) à concevoir l'infini en acte et à en noter le cardinal. Pour finir par affirmer que le cardinal de l'ensemble des réels (nombre d'éléments du corps des réels) par exemple était supérieur au cardinal de l'ensemble de naturels. Comment un infini peut-il être plus grand qu'un autre infini ? Cantor ainsi osa impossible. L’infini avec lui peut être atteint. Cela lui a valu d'avoir une carrière contrariée. Tous les mathématiciens (ou presque) de renom à l'époque se liguèrent contre lui.

Intervention hors sujet; il est ici question de géométrie projective.

Donne-toi la peine d'activer le lien qui la concerne.
 

Il y a 13 heures, Annalevine a dit :

C'est le libellé exact du cinquième postulat qui conduisit les Grecs et tous les mathématiciens qui suivirent à s’interroger sur ce postulat. J'en donne le texte exact en fichier joint. Ceux qui prendront la peine de lire l’énoncé d' Euclide comprendront que nous puissions nous interroger sur la validité de ce postulat.

Il est bien écrit  : "ces droites prolongées à l'infini se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits".

Cette rédaction a plongé les mathématiciens dans l'interrogation : qu'est-ce que l'infini ?

Nous voyons aussi, comme l'ont fait remarqué des intervenants ici, que la notion d’infini va avec la notion de limite.

La question est : pouvons-nous nous autoriser à "atteindre", en pensée, l'infini ? En principe non, Dieu étant le seul à avoir la faculté d’atteindre l'infini.

C'est pourquoi nous nous autorisons à concevoir l’infini en puissance mais pas en acte.

Dans l'enseignement actuel, en mathématiques, l'infini est noté ∞, il s'agit de l'infini en puissance.

Cantor a été le premier (à ma connaissance) à concevoir l'infini en acte et à en noter le cardinal. Pour finir par affirmer que le cardinal de l'ensemble des réels (nombre d'éléments du corps des réels) par exemple était supérieur au cardinal de l'ensemble de naturels. Comment un infini peut-il être plus grand qu'un autre infini ? Cantor ainsi osa impossible. L’infini avec lui peut être atteint. Cela lui a valu d'avoir une carrière contrariée. Tous les mathématiciens (ou presque) de renom à l'époque se liguèrent contre lui.

Bonsoir,

J'avais déjà regardé la page Wikipédia du cinquième postulat d'Euclide et je crois qu'il n'y est pas vraiment question de l'infini au sens "philosophique" du terme. Si dans l'énoncé initial on utilise le mot "infini" c'est peut-être simplement pour dire "assez loin", ainsi il faut comprendre l'expression "prolongées à l'infini" comme "prolongées assez loin"... n'est-ce pas ?

Autrement j'ai toujours été troublé en maths par le fait qu'il existe différents "grandeurs" d'infini, comme par exemple la fonction exponentielle exp(x) tendrait vers un infini plus grand que celui de la fonction logarithme ln(x). D'ailleurs je suppose qu'il est doit être facile de démontrer que limite en infini de (exp(x) / ln(x)) -> infini ??

Il y a 1 heure, Groenland a dit :

Si dans l'énoncé initial on utilise le mot "infini" c'est peut-être simplement pour dire "assez loin", ainsi il faut comprendre l'expression "prolongées à l'infini" comme "prolongées assez loin"... n'est-ce pas ?

C'est cela

il y a une heure, Groenland a dit :

Autrement j'ai toujours été troublé en maths par le fait qu'il existe différents "grandeurs" d'infini, comme par exemple la fonction exponentielle exp(x) tendrait vers un infini plus grand que celui de la fonction logarithme ln(x). D'ailleurs je suppose qu'il est doit être facile de démontrer que limite en infini de (exp(x) / ln(x)) -> infini ??

Il y a 10 heures, Groenland a dit :

Bonsoir,

J'avais déjà regardé la page Wikipédia du cinquième postulat d'Euclide et je crois qu'il n'y est pas vraiment question de l'infini au sens "philosophique" du terme. Si dans l'énoncé initial on utilise le mot "infini" c'est peut-être simplement pour dire "assez loin", ainsi il faut comprendre l'expression "prolongées à l'infini" comme "prolongées assez loin"... n'est-ce pas ?

Autrement j'ai toujours été troublé en maths par le fait qu'il existe différents "grandeurs" d'infini, comme par exemple la fonction exponentielle exp(x) tendrait vers un infini plus grand que celui de la fonction logarithme ln(x). D'ailleurs je suppose qu'il est doit être facile de démontrer que limite en infini de (exp(x) / ln(x)) -> infini ??

Si vous mettez mon petit dessin en mouvement et que vous faites tendre la somme des deux angles â et b vers 180° vous verrez, en imagination, les deux droites se couper de plus en plus loin. Lorsque la somme des deux angles sera différente de 180 degrés d'une mesure infiniment petite, le point d’intersection des deux droites tendra vers un "infini". C'est en mobilisant votre imagination que vous verrez le problème soulevé par les Grecs. Que se passe-t-il quand on tend vers des situations limites ? Tendre, et non atteindre bien que l'on cherche à atteindre. Si vous oubliez votre pensée analytique et que vous acceptez de vous livrez à votre imaginaire alors vous verrez que lorsque le différentiel de la somme des angles par rapport à 180 degrés tend vers 0 alors le point d'intersection va si loin que vous commencez à entrevoir, dans votre pensée spatiale, intuitive, imagée ce qu'est l'infini.

il y a 34 minutes, Annalevine a dit :

Si vous oubliez votre pensée analytique et que vous acceptez de vous livrez à votre imaginaire alors vous verrez que lorsque le différentiel de la somme des angles par rapport à 180 degrés tend vers 0 alors le point d'intersection va si loin que vous commencez à entrevoir, dans votre pensée spatiale, intuitive, imagée ce qu'est l'infini.

Et cette découverte intuitive va d'ailleurs bien plus loin si vous ne vous contentez pas de prendre deux droites perpendiculaires à une droite commune... En inclinant une de ces droite par rapport à l'autre, vous verrez le point d'intersection s' éloigner de plus en plus vite de vous en direction de cet infini qui vous fait face et qu' évoque Annalevine et puis soudain il disparaîtra brutalement pour réapparaître non plus devant, mais derrière-vous. A cet instant précis, vous aurez pris conscience non pas seulement de ce qu'est l' infini, mais mieux encore de l'existence de ce que l'on appelle une singularité aux caractéristiques bien plus remarquables.

En particulier, vous éprouverez une peine infinie si appelant Tn l'instant ou disparaît le point d' intersection devant vous, vous décidiez d' appeler T n+1 celui  où apparait l'intersection derrière vous. T n et T n+1 seront indiscernables l'un de l' autre. Et vous arriverez à conclure que deux droites parallèles se rejoignent toujours  ... à leurs extrémités.

Il y a 3 heures, Annalevine a dit :

Si vous mettez mon petit dessin en mouvement et que vous faites tendre la somme des deux angles â et b vers 180° vous verrez, en imagination, les deux droites se couper de plus en plus loin. Lorsque la somme des deux angles sera différente de 180 degrés d'une mesure infiniment petite, le point d’intersection des deux droites tendra vers un "infini". C'est en mobilisant votre imagination que vous verrez le problème soulevé par les Grecs. Que se passe-t-il quand on tend vers des situations limites ? Tendre, et non atteindre bien que l'on cherche à atteindre. Si vous oubliez votre pensée analytique et que vous acceptez de vous livrez à votre imaginaire alors vous verrez que lorsque le différentiel de la somme des angles par rapport à 180 degrés tend vers 0 alors le point d'intersection va si loin que vous commencez à entrevoir, dans votre pensée spatiale, intuitive, imagée ce qu'est l'infini.

Annalevine...

Je connais bien ce pseudo maintenant. Il faut parfois accepter qu'on peut se tromper, que l'erreur fait partie de ce bas monde. La perfection ne fait pas partie du vocabulaire du surhomme, le surhomme aime l'erreur... car ce n'est qu'à travers ses erreurs qu'il peut déployer ce qu'on appelle la volonté de puissance et il est par conséquent assez honnête avec lui-même pour ne pas nier ses propres erreurs, alors aimez les vos erreurs et lancez vous sur le chemin de la "volonté vers la capacité" ! 

Le 05/10/2020 à 14:28, Hérisson_ a dit :

Il faut éviter de tout mélanger ...

L'équateur et tout méridien sont des géodésiques de la sphère, et jouent un rôle analogue à celui des droites dans le plan; les cercles parallèles à l'équateur et distincts de celui-ci n'en sont pas, parce que leur rayon est inférieur à celui de la sphère - ils peuvent d'ailleurs se réduire à un point au niveau des pôles; ils ne sauraient représenter le plus court chemin d'un point à un autre.

C'est confondre la courbure d'un espace avec sa dimension, c'est à dire le nombre de coordonnées indépendantes  définissant sa position.

Donc cela ne veut-il pas dire qu'il est en effet impossible de tracer une droite non courbée sur une sphère ? 

Et quelle est la conséquence en physique pour les objets sur terre ? Je regarde maintenant la porte de mon salon, il est donc impossible qu'elle soit tout droit, ses bords sont donc courbés, c'est bien cela ?

il y a 5 minutes, Condorcet a dit :

?

Je dirais même plus ! Si l'univers lui-même est de forme sphérique et qu'en plus l'espace temps est courbé alors null part dans l'univers on peut avoir une forme droite ou plane !

@zenalpha ton avis stp ?

il y a 20 minutes, Groenland a dit :

?

Bah oui. Une droite est une droite et sinon ce c'est pas une droite. Le sujet est assez compliqué comme ça, géométrie euclidienne versus non euclidienne. Représentation du monde versus réalité du monde. Alors il convient d'employer les mots avec précision. Un cercle n'est pas une droite que l'on aurait tordu en rond. Une projection de Mercator part de portions de sphère pour arriver sur un plan. Ça ne veut pas dire que ce qui est une droite sur ce plan l'était sur la sphère et qu'à une imprécision de langage près ou puisse dire qu'une courbe est une droite. Quant à la porte, c'est confondre la rotondité de terre avec le fait qu'on devrait manufacturer des produits ronds, ou encore que la terre aurait un effet courbant sur les objets droits. C'est un délire complet.

A ce sujet, un exercice de brevet des collèges : Soit une ligne droite, vraiment droite, allant de Paris à Lille (que l'on supposera toutes les deux à la même altitude identique de 0m pour simplifier la question). La ligne imaginaire passe donc dans le sol afin d'être plus courte que le vol d'oiseau qui lui est un arc de 204.55km. A quelle profondeur passe la droite imaginaire au milieu du parcours ?

il y a 24 minutes, Groenland a dit :

Donc cela ne veut-il pas dire qu'il est en effet impossible de tracer une droite non courbée sur une sphère ? 

Et quelle est la conséquence en physique pour les objets sur terre ? Je regarde maintenant la porte de mon salon, il est donc impossible qu'elle soit tout droit, ses bords sont donc courbés, c'est bien cela ?

Pour ta porte, les éléments verticaux sont bien des droites puisque ce sont des verticales des charnières. Leaverticale d'un point est la droite qui joint ce point au centre de la Terre.

les éléments "parallèles" au sol et ne sont pas des droites mais des "arcs" de cercle centrés sur le centre de la Terre. Mais personne n'est capable de mesurer l'écart entre cet arc et une droite tant le rayon de courbure est grand par rapport à la longueur des petits côtés de la porte.